משה ליאון נולד בתל אביב-יפו, בנם השני מתוך שלושה אחים של חנה ז״ל ושלום יבל״א, שעלו מתימן ומיוון. בהשכלתו, ליאון הוא רו"ח ובוגר אוניברסיטת בר-אילן בכלכלה וחשבונאות ומוסמך במשפטים מאוניברסיטת בר-אילן.
לאחר סיום לימודיו, ייסד את משרד רואי החשבון יצחקי ושות', ביחד עם אביגדור יצחקי ושני שותפים נוספים. לאחר מכן שימש כשותף-מנהל בפירמת רואי החשבון שהקים, ליאון אורליצקי ושות', אשר תחת ניהולו הפך המשרד לאחד מעשרת המשרדים הגדולים בארץ, על פי דירוג דן אנד ברדסטריט.
בהמשך שימש במספר רחב של תפקידי ציבור שונים, ביניהם: מנכ״ל משרד ראש הממשלה, יושב ראש רכבת ישראל, יושב ראש הרשות לפיתוח ירושלים ויושב ראש דירקטוריון המרכז הרפואי מעייני הישועה.
לאחר שהתמודד בבחירות לעיריית ירושלים, ב-4 בדצמבר 2018, נכנס ליאון לתפקידו כראש העיר ירושלים. במסגרת תפקידו, ליאון פועל ללא לאות לקידום ולפיתוח העלייה לבירת ישראל, שכלול השירותים וההטבות לעולים החדשים ולאחרונה אף חנך בירושלים מרכז שירות חדש לעולה המהווה מרכז שירותי רב תכליתי.
ליאון נשוי לסתוית ולזוג ארבעה ילדים.
